Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列是公差为d的等差数列，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式（用n，d表示）；
(Ⅱ)设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立，求证：c的最大值为。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题设知，，
则当n≥2时，，
由得，
解得=d，
故当n≥2时，a_n=2nd²-d²，
又a₁=d²，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=(2n-1)d²．
(Ⅱ)由=d及，
得d＞0，S_n=d²n²，
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，
有，
所以c的最大值；
另一方面，任取实数，
设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，
且，
于是，只要9k²+4＜2ak²，
即当时，就有，
所以满足条件的，从而，
因此c的最大值为。