Question

已知函数f（x）=ax³+x²+1，x∈（0，1]．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）f（x）在（0，1]上是增函数，转化成x∈（0，1]时f'（x）＞0恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最大值即可求出a的范围；
（II）讨论a的范围，当a＞-

2

3

时，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）_max=f（1），a≤-

2

3

时，求出极大值，即为最大值，即可求出所求．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²+2x，
∵f（x）在（0，1]上是增函数，
∴x∈（0，1]时f′（x）=3ax²+2x＞0恒成立
即a＞-

2

3x

对x∈（0，1]恒成立
∵-

2

3x

在（0，1]上单调递增，当x=1时，-

2

3x

取最大值-

2

3

∴a＞-

2

3

（II）①当a＞-

2

3

时，f（x）在（0，1]上单调递增
∴f（x）_max=f（1）=a+1
②a≤-

2

3

时，令f'（x）=3ax²+2x=0
由x≠0，x=-

2

3a

，当0＜x＜-

2

3a

，f'（x）＞0，当-

2

3a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴x=-

2

3a

时，f（x）取极大值

4

27a2

+1
∵f（1）=a+2≤

4

27a2

+1
∴f（x）在（0，1]上的最大值为

4

27a2

+1

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．