题目内容
已知正项数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足
（n≥2）．（Ⅰ）求证：{
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2-a恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（I）由已知可得，
，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求an
（II）由
=
=
，利用裂项求和可求Tn，求出Tn的范围可求a的范围
解答：解：（I）∵
∴
∴
∴数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列
∴
=n
∴
∴
=n+n-1=2n-1（n≥2）
当n=1时，a1=1也适合
∴an=2n-1
（II）∵
=
=
∴
=
=
∴Tn
∵4Tn＜a2-a恒成立
∴2≤a2-a，解得a≥2或a≤-1
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．
，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求an（II）由
==，利用裂项求和可求Tn，求出Tn的范围可求a的范围解答：解：（I）∵
∴
∴
∴数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列∴
=n∴
∴
=n+n-1=2n-1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合
∴an=2n-1
（II）∵
==∴
==
∴Tn
∵4Tn＜a2-a恒成立
∴2≤a2-a，解得a≥2或a≤-1
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．
练习册系列答案
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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