Question

（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为

1

10

和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

49

50

，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为

49

50

，可求p的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则1-P(

.

C

)=1-

1

10

×p=

49

50

∴p=

1

5

；
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

10

)3=

1

1000

；P（ξ=1）=

C

1 3

×(

1

10

)2×(1-

1

10

)=

27

1000

；
P（ξ=2）=

C

2 3

×

1

10

×(1-

1

10

)2=

243

1000

；P（ξ=3）=

C

3 3

(1-

1

10

)3=

729

1000

；
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 1000	27 1000	243 1000	729 1000

数学期望Eξ=0×

1

1000

+1×

27

1000

+2×

243

1000

+3×

729

1000

=

27

10

点评：本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．