Question

（2013•天津模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•sin²

nπ

2

-bn•cos2

nπ

2

 (n∈N*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求求数列{a_n}的通项公式；利用点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，可得{b_n}是等差数列，公差为2，首项b₁=1，从而可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）利用分组求和法，可求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1，a₁=2…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（2分）
∴a_n=2a_n-1（n≥2），∴{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁=2
∴an=2n…（3分）
又点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是等差数列，公差为2，首项b₁=1，∴b_n=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵an•bn=(2n-1)×2n
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1…（7分）
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)×2n+1=2n+1(3-2n)-6…（8分）
Dn=(2n-3)2n+1+6…（9分）
（Ⅲ）cn=

2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数

…（11分）
T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）-（b₂+b₄+…b_2n）
=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=

22n+1-2

3

-2n2-n…（13分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的判定，考查错位相减法的运用，属于中档题．