Question

已知a＞0，a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=na_nlga（n∈N*）
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n．（2）若数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出数列{a_n}以及数列{b_n}的通项，再对数列{b_n}利用错位相减法求前n项和S_n．
（2）利用条件得到关于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1两种情况分别解不等式即可．

解答：解：（1）由题得：a_n=a•a^n-1=aⁿ，b_n=na_nlga=naⁿlga．
所以s_n=alga+2×a²lga+3×a³lga+…+（n-1）a^n-1lga+naⁿlga，
故as_n=a²lga+2×a³lga+3×a⁴lga+…+（n-1）aⁿlga+naⁿ⁺¹lga，
两式作差得（1-a）s_n=alga+a²lga+a³lga+…+aⁿlga-naⁿ⁺¹lga=lga•

a(1-an)

1-a

-naⁿ⁺¹lga．
所以s_n=lga•

a(1-an)

(1-a)2

-nlga•

an+1

1-a

．
（2）由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0．
当0＜a＜1时，lga＜0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＞0⇒a＜

n

n+1

，故0＜a＜

n

n+1

当a＞1时，lga＞0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＜0⇒a＞

n

n+1

，故a＞1．
所以a的取值范围是a＞1或0＜a＜

n

n+1

点评：本题的第一问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．