Question

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

a

2x

，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+

a

2x

=

1

2x

+a•2^x，由此求得a的值．
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增，任取 0＜x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证明结论．
（3）函数 f（x）=2^x+

1

2x

，令 t=2^x＞0，则 y=t+

1

t

，利用基本不等式求出它的值域．

解答：解：（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+

a

2x

=

1

2x

+a•2^x ，…2分
从而a=1．     …4分   
f（x）=2^x+

1

2x

． …5分
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分 
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=（2x1-2x2 ）+

2x2-2x1

2x1•2x2

=（2x1-2x2 ）（1-

1

2x1•2x2

）=（2x1-2x2 ）（

2x2+x1-1

2x1•2x2

 ），…..7分
由条件-∞＜x₁＜x₂，可得（2x1-2x2 ）＜0，）（

2x2+x1-1

2x1•2x2

）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2^x+

1

2x

，令 t=2^x＞0，…..11分
则 y=t+

1

t

，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性以及基本不等式的应用，属于中档题．