Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：b1=

1

2

，2bn+1=(1+

1

an

)bn，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=b₁+b₂+…+b_n，cn=

2-Tn

4Sn

，证明：c1+c2+…+cn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列通项及求和公式，建立方程组，求出基本量，可得数列{a_n}的通项公式；确定数列{

bn

n

}是等比数列，即可求得{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法求得T_n，利用累加法，可得结论．

解答：（1）解：由题意得

a1+d=3 5a1+10d=15

，解得

a1=1 d=1

，∴a_n=n…（3分）
由2bn+1=(1+

1

an

)bn，得

bn+1

n+1

=

1

2

•

bn

n

，
∴数列{

bn

n

}是等比数列，其中首项b1=

1

2

，公比q=

1

2

，
∴

bn

n

=(

1

2

)n，∴bn=

n

2n

．…（6分）
（2）证明：∵Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

(n-1)

2n

+

n

2n+1

②
∴②-①得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

…（9分）
∴cn=

2-Tn

4Sn

=

n+2

n(n+1)2n+1

=

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

∴c1+c2+…+cn=

1

1•21

-

1

(n+1)•2n+1

＜

1

2

…（16分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，掌握数列的求和方法是关键．