题目内容

17．对于定义在R上的函数f（x），若存在x0使得$\underset{\underbrace{f（f…（f（{x}_{0}）））}}{k}$=x0（*），其中k为某个正整数，则称x0为函数f（x）的一个周期点，使得（*）式成立的正整数k称为x0的周期，使得（*）式成立的最小正整数k称为x0的最小周期，若函数f（x）=1-|2x-1|，则函数f（x）（　　）
A．恰有一个最小周期为1的周期点，恰有一个最小周期为2的周期点
B．恰有一个最小周期为1的周期点，恰有两个最小周期为2的周期点
C．恰有两个最小周期为1的周期点，恰有两个最小周期为2的周期点
D．恰有两个最小周期为1的周期点，恰有四个最小周期为2的周期点

分析 运用分段函数表示f（x），再令f（x）=x，解方程可得函数f（x）恰有两个最小周期为1的周期点；再将f（f（x））写成分段函数，令f（f（x））=x，解方程可得函数f（x）恰有四个最小周期为2的周期点．即可得到结论．

解答 解：f（x）=1-|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x，x≥\frac{1}{2}}\\{2x，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
令f（x）=x，由2-2x=x，解得x=$\frac{2}{3}$；
由2x=x，解得x=0，
即函数f（x）恰有两个最小周期为1的周期点；
f（f（x））=1-|2（1-|2x-1|）-1|=$\left\{\begin{array}{l}{4x，x≤\frac{1}{4}}\\{2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}}\\{4x-2，\frac{1}{2}＜x≤\frac{3}{4}}\\{4-4x，x＞\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
令f（f（x））=x，
由4x=x，可得x=0，由2-4x=x，解得x=$\frac{2}{5}$，
由4x-2=x，解得x=$\frac{2}{3}$，由4-4x=x，解得x=$\frac{4}{5}$．
即有函数f（x）恰有四个最小周期为2的周期点．
故选D．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用，注意去绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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