题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且 $数学公式$ ．
（I）求a₂与a₃；
（II）求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（III）试比较a₁+2a₂+3a₃+…+na_n与2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并说明理由．

解：（Ⅰ）∵S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），
∴S₂=4a₂-2=a₁+a₂，S₃=9a₃-6=a₁+a₂+a₃，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴ $\text{[math]}$ =1，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又已知S_n=n²a_n-n（n-1），
∴ $\text{[math]}$ =n²a_n-n（n-1），
∴ $\text{[math]}$ ．
∵2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ≥1+n，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵当n∈N^*时， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜2ⁿ⁺¹-n-2．
即a₁+2a₂+3a₃+…+na_n＜2ⁿ⁺¹-n-2
分析：（Ⅰ）利用S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），n分别取2，3代入，结合 $\text{[math]}$ ，可求a₂与a₃的值；
（II）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得 $\text{[math]}$ =1，结论得证．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据S_n=n²a_n-n（n-1），可得 $\text{[math]}$ =n²a_n-n（n-1），从而有 $\text{[math]}$ ，利用 2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+C_nⁿ≥1+n，得 $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ ，故a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$ ，利用分组求和即可得结论．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列递推式的运用，考查等差数列的定义，考查放缩法，解题的关键是合理运用数列递推式．