Question

若关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是______．

Answer 1

当n∈N^*时，(

1

2

)n的最大值为

1

2

则关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的图象是开口朝上，且以x=-

1

4

为对称轴的抛物线
则当λ≤-

1

4

时，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上单调递减，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
当λ＞-

1

4

时，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上单调递减，[-

1

4

，λ]单调递增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此时不满足条件
综上λ≤-1
即常数λ的取值范围是（-∞，-1]