Question

已知函数f（x）=ax²-

1

2

x+2ln（x+1）．
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）-ln（x+1）图象上的点都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将x=0代入函数f（x）的解析式，可求出切点坐标，将x=0代入导函数f′（x）的解析式，可求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）由函数y=f（x）-ln（x+1）图象上的点都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面区域内，可得ax²-x+2ln（x+1）≤0恒成立．构造函数g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，利用导数法分类讨论满足g（x）_max≤0时实数a的范围，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（0）=0，所以切点为（0，0）
∵f′(x)=2ax-

1

2

+

2

x+1

∴f′(0)=-

1

2

+2=

3

2

所以所求切线方程为y=

3

2

x…（4分）
（2）∵函数y=f（x）-ln（x+1）图象上的点都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面区域内，
∴x∈[0，+∞）时，不等式ax²-x+2ln（x+1）≤0恒成立．
设g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），只需g（x）_max≤0即可
由g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，…（6分）
（i） 当a=0时，g′(x)=

-x

x+1

，
当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立． …（8分）
（ii） 当a＞0时，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，
∵x∈[0，+∞），
∴x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（x）在[0，+∞）上无最大值，
当x→+∞时，g（x）→+∞，此时不满足条件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

时，
则函数g（x）在（0，

1

2a

-1）上单调递减，在（

1

2a

-1，+∞）上单调递增
g（

1

a

）=ln（1+

1

a

）＞0，不满足条件
（iii） 当a＜0时，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，…（11分）
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．…（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，二元一次不等式组与平面区域，（1）的关键是求出切点坐标和切线斜率，（2）的关键是将问题转化为函数g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），满足g（x）_max≤0．