题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．
分析：（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；
（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．
（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．
解答：
解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．
∴V四棱锥P-ABCD=
S正方形ABCD×PA=
×12×2=
．
（2）连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，
又∵AE=EP，∴OE∥PC．
又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．
∴PC∥平面BDE．
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵CE?平面PAC．
∴BD⊥CE．
解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V四棱锥P-ABCD=
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（2）连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，
又∵AE=EP，∴OE∥PC．
又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．
∴PC∥平面BDE．
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵CE?平面PAC．
∴BD⊥CE．
点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．
练习册系列答案
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