Question

求证：双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．并说明你的证明中的主要步骤（三步）．

Answer 1

分析：设曲线xy=k（k≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），对xy=k进行变形可得 y=

k

x

，结合点P的坐标，可得切线的方程，联立曲线的方程，进而可得直线在x、y轴上的截距，由三角形面积公式，计算可得答案，进而证明结论成立．

解答：证明：设曲线xy=k（k≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），
由题意可得：xy=k可以变形为：y=

k

x

，
对函数y=

k

x

求导数可得 y′=-

k

x2

，
所以切线的方程是 y-y0=-

k

x 2 0

(x-x0)．
因为x₀y₀=k，可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是x_截距=x0+-

x 2 0 y0

k2

=2x0，
y_截距=y0+

k

x0

=

x0y0+k

x0

=

2k

x0

，
所以根据三角形的面积公式可得：所求三角形的面积为2k，
所以双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．

点评：本题涉及求曲线的切线方程，进行证明时，一般步骤是先设变量或坐标，再求或联立方程，最后进行计算得到结论．