Question

已知函数f（x）=1-

1

x

（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）

• A．m＜

  1

  4

• B．0＜m＜

  1

  4

• C．m＜

  1

  4

  且m≠0
• D．m＞

  1

  4

Answer 1

分析：首先判断出给出的函数的单调性，然后由定义域和值域列式，进一步说明关于x的一元二次方程由两个不等的实根，结合原题给定的区间可得m的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=1-

1

x

（x＞0）为定义域内的增函数，
要使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），
则

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，
即a，b为方程1-

1

x

=mx的两个实数根．
整理得mx²-x+1=0有两个不等的实数根．
∴m≠0．
则△=（-1）²-4m＞0，解得m＜

1

4

．
又由原题给出的区间可知m＞0．
∴实数m的取值范围是0＜m＜

1

4

．
故选B．

点评：本题考查了函数的定义域及其值域，考查了函数的单调性与函数值域的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的判别式与根的关系，是中档题．