Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅲ） 求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC后容易看出EF为△CPA的中位线，运用线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）根据题目给出的边的关系先说明PA⊥PD，然后根据线面垂直的性质得到CD⊥面PAD，从而证得PA⊥平面PDC，由面面垂直的判定证得结论；
（Ⅲ）取PD的中点M，连接EM、FM后可证明∠EMF为二面角B-PD-C的平面角，在直角三角形FEM中求其余弦值．

解答：法一：
（Ⅰ）证明：连接AC，在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD
所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，
又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD=

π

2

，
即PA⊥PD．又CD∩PD=D，且CD?面ABCD，PA?面ABCD，∴PA⊥面PDC
又PA?面PAD，∴面PAD⊥面PDC．
（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连接EM，MF，则EM⊥PD
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角．
在Rt△FEM中，EF=

1

2

PA=

2

4

a，EM=

1

2

CD=

1

2

a，tan∠EMF=

EF

EM

=

2 4 a

1 2 a

=

2

2

，故所求二面角的正切值为

2

2

．

法二：
如下图，取AD的中点O，连接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=

a

2

．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则有A(

a

2

，0，0)，F(0，

a

2

，0)，D(-

a

2

，0，0)，P(0，0，

a

2

)，B(

a

2

，a，0)，C(-

a

2

，a，0)．
∵E为PC的中点，∴E(-

a

4

，

a

2

，

a

4

)．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为

OF

=(0，

a

2

，0)而

EF

=(

a

4

，0，-

a

4

)，
且

OF

•

EF

=(0，

a

2

，0)•(

a

4

，0，-

a

4

)=0，∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)，

CD

=(0，a，0)∴

PA

•

CD

=(

a

2

，0，-

a

2

)•(0，a，0)=0，
∴

PA

⊥

CD

，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)．∵

DP

=(

a

2

，0，

a

2

)，

BD

=(-a，a，0)，
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

BD

=0可得

a 2 •x+0•y+ a 2 •z=0 -a•x+a•y+0•z=0

，令x=1，则y=1，z=-1，
故

n

=(1，1，-1)∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

a

2 2 a× 3

=

6

3

，
即二面角B-PD-C的余弦值为

6

3

，二面角B-PD-C的正切值为

2

2

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及其求法，解答的关键是巧妙寻找线面平行和面面垂直的判定定理的条件，寻找二面角的平面角是该题的难点，
此题用向量法相对较易，此题为中档题．