题目内容
已知：函数f(x)=
，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（-∞，-2）上的单调性，并用定义加以证明．
| x2+4 |
| x |
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（-∞，-2）上的单调性，并用定义加以证明．
（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，
f(-x)=
=-
=-f(-x)，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数，
证明：任取x1，x2∈（-∞，-2）且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
-
=
∵x1＜x2＜-2，∴x1x2-4＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数．
（2）定义域关于原点对称，
f(-x)=
| (-x)2+4 |
| -x |
| x2+4 |
| x |
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数，
证明：任取x1，x2∈（-∞，-2）且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
| x12+4 |
| x1 |
| x22+4 |
| x2 |
| (x1x2-4)(x1-x2) |
| x1x2 |
∵x1＜x2＜-2，∴x1x2-4＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数．
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