题目内容
已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(α)=
，且α∈[
，
]，求sin2α的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(α)=
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| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）整体思维，结合角的变换，可求sin2α的值．
（2）整体思维，结合角的变换，可求sin2α的值．
解答：解：（1）f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx=cos2x+
sin2x=2sin(2x+
)．
所以函数f（x）的最小正周期T=
=π．…（6分）
（2）由题2sin(2α+
)=
，得sin(2α+
)=
，
因为
≤α≤
，则
≤2α+
≤
，
则cos(2α+
)=-
，…（9分）
所以sin2α=sin(2α+
-
)=sin(2α+
)cos
-cos(2α+
)sin
=
．…（14分）
| 3 |
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| π |
| 6 |
所以函数f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）由题2sin(2α+
| π |
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| 13 |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 13 |
因为
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
则cos(2α+
| π |
| 6 |
| 12 |
| 13 |
所以sin2α=sin(2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
5
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点评：本题考查三角函数的化简，考查角的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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