Question

（2013•深圳二模）各项为正数的数列{a_n}满足

a

2 n

=4Sn-2an-1（n∈N^*），其中S_n为{a_n}前n项和．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数m、n，使得向量

a

=（2a_n+2，m）与向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直？说明理由．

Answer 1

分析：（1）将n=1、n=2分别代入已知等式，结合公式S_n=a₁+a₂+…+a_n解方程即可得到a₁=1、a₂=3；
（2）根据

a

2 n

=4Sn-2an-1，用n+1代替n得

a

2 n+1

=4Sn+1-2an+1-1，两式相减再化简整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，由{a_n}的各项为正数可得a_n+1-a_n=2，从而得到数列{a_n}构成公差为2的等差数列，结合a₁=1即可算出数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）求出的通项公式，化简得

a

=（2（2n+3），m），

b

=（-（2n+9），2n+2）．设

a

⊥

b

则

a

•

b

=0，结合向量数量积坐标运算公式进行化简，得m=4（n+1）+16+

7

n+1

，通过讨论m、n的值为正整数，可得存在正整数m=45、n=6，能使向量

a

=（2a_n+2，m）与向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直．

解答：解：（1）当n=1时，

a

2 1

=4S1-2a1-1，化简得(a1-1)2=0，解之得a₁=1
当n=2时，

a

2 2

=4S2-2a2-1=4（a₁+a₂）-2a₂-1
将a₁=1代入化简，得a22-2a2-3=0，解之得a₂=3或-1（舍负）
综上，a₁、a₂的值分别为a₁=1、a₂=3；
（2）由

a

2 n

=4Sn-2an-1…①，

a

2 n+1

=4Sn+1-2an+1-1…②
②-①，得

a

2 n+1

-

a

2 n

=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an)
移项，提公因式得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵数列{a_n}的各项为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-a_n-2=0
因此，a_n+1-a_n=2，得数列{a_n}构成以1为首项，公差d=2的等差数列
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量

a

=（2a_n+2，m）与向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）
∴结合（2）求出的通项公式，得

a

=（2（2n+3），m），

b

=（-（2n+9），2n+2）
若向量

a

⊥

b

，则

a

•

b

=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化简得m=4（n+1）+16+

7

n+1

∵m、n是正整数，
∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使

a

⊥

b

符合题意
综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量

a

=（2a_n+2，m）与向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直．

点评：本题着重考查了等差数列的定义、通项公式与求和公式，会根据数列的递推关系求数列的前几项与数列通项公式，考查了平面向量的数量积运算性质．同时考查了学生的运算求解、推理论证和变形处理能力，属于中档题．