Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为．

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若．

①求证：；

②求的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）①详见解析 ②

【解析】

试题（1）求圆的标准方程，就是确定圆心及半径，根据圆与轴相切于椭圆的右焦点，得圆心的横坐标为又点是椭圆上一点，所以圆心的坐标为，半径为，（2）①由直线与圆相切得圆心到切线距离等于半径，列出两个等量关系，并化简得：，，由于这两个方程类似，因此可转化为是方程的两根，结合韦达定理得，将代入化简得②先联立直线与椭圆方程组解出P,Q点坐标（用斜率表示），,因此，结合基本不等式得

试题解析：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为．

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而．

②设点，联立，解得，

同理，，

所以

， 当且仅当时取等号． 所以的最大值为．