Question

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-

x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）利用换元法先求出f（x）的表达式，利用函数的性质确定函数的定义域．
（2）利用换元法先求出f（x）的表达式，然后利用复合函数的单调性判断单调区间．

解答：解：（1）设t=a^x，则x=log_at，t＞0
所以f(t)=log?at-

log?at

，所以f(x)=log?ax-

logax

，要使函数有意义则
log_ax≥0，若a＞1，则x≥1．若0＜a＜1，则0＜x＜1．
所以若a＞1，函数的定义域为[1，+∞）．若0＜a＜1，函数的定义域为（0，1）
（2）由（1）知f(x)=log?ax-

logax

，令u=

logax

≥0，则y=f（u）=u²-u，
①当a＞1时，f（u）在u∈[0，

1

2

)单调递减，在u∈[

1

2

，+∞)单调递增．
而u=

logax

≥0，在[1，+∞）恒为单调递增．
所以原函数f（x）在[1，a

1

4

）上单调递减，在[a

1

4

，+∞）单调递增．
②当0＜a＜1时，同理可得，原函数f（x）在（a

1

4

，1）单调递增．
在（0，a

1

4

）单调递增．

点评：本题主要考查复合函数的定义域以及复合函数的单调性的判断，综合性较强，难度较大．