Question

已知函数f（x）=|x+2|-x+3．
（1）写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）求函数y=f（x²-3）的值域；
（3）求不等式f（1-x²）＞f（2x）的解集．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=

5 ，x≥-2 -2x+1 ， x＜-2

，可得函数y=f（x）的单调区间．
（2）分当x²-3≥-2和当-3≤x²-3＜-2两种情况 分别利用函数的单调性求得y=f（x²-3）的值域，再取并集，即得所求．
（3）由不等式f（1-x²）＞f（2x）可得 1-x²＜2x≤-2，解得 x 的范围，可得不等式的解集．

解答：解：（1）由于函数f（x）=|x+2|-x+3=

5 ，x≥-2 -2x+1 ， x＜-2

，
故函数y=f（x）的单调区间为（-∞，-2]．
（2）由于x²-3≥-3，故当x²-3≥-2时，f（x²-3）=5；
当-3≤x²-3＜-2时，f（-2）＜f（x²-3）≤f（-3），即 5＜f（x²-3）≤7，
故函数y=f（x²-3）的值域为[5，7]．
（3）由不等式f（1-x²）＞f（2x）可得 1-x²＜2x≤-2，
解得 x≤-1-

2

，故不等式的解集为（-∞，-1-

2

]．

点评：本题主要考查利用函数的单调性求函数的值域、解不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．