Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=

1

3

，且对任意正整数m，n都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，+∞)
• B．(

  1

  2

  ，+∞)
• C．[

  3

  2

  ，+∞)
• D．(

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：由a_m+n=a_m•a_n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出数列的各项，发现此数列是首项和公比都为

1

3

的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S_n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值．

解答：解：令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=

1

9

，同理令m=2，n=1，得到a₃=

1

27

，…
所以此数列是首项为

1

3

，公比也为

1

3

的等比数列，故此数列是无穷递缩等比数列，
则S_n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

），要使S_n＜a恒成立，需

lim

n→∞

 Sn≤a，
所以，a≥

lim

n→+∞

1

2

（1-

1

3n

）=

1

2

，∴a≥

1

2

，
故选A．

点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道中档题．