Question

如图，四边形ABGH，BCFG，CDEF都是菱形．沿BG把菱形ABGH折起，沿CF把菱形CDEF折起，点A与点E正好重合于点A．
（1）设BF与CG交于点O，求证：AO⊥面BCFG．
（2）求直线AB与平面BCFG所成角的正切值．

Answer 1

分析：对于问题（1），要证明直线垂直于平面，根据本题的条件，需要证明AO垂直于面BCFG内的 两条相交直线，容易发现三角形ABF为等腰三角形，三角形AGC也是等腰三角形，因此容易证明AO⊥GC、AO⊥BF，从而得到结论；对于问题（2）求直线AB与平面BCFG所成角的正切值，本题由第一问得到三条相互垂直的直线OA、OB、OC，因此容易联想到建立空间直角坐标系，转化为向量夹角问题解决

解答：解：（Ⅰ）连AG，AC．则AG=AC，O是GC中点，故AO⊥GC．
又AB=AF，O是BF中点，故AO⊥BF．故AO⊥面BCFG．
（Ⅱ）以OB，OC，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设B（b，0，0），C（0，c，0），A（0，0，a）．
由|

AB

|=|

BC

|得a=c．因此A（0，0，c）.

BA

=（-b，0，c），

BG

=（-b，-c，0），cos∠ABG=

b2

b2+c2

，

BC

=（-b，c，0），cos∠CBG=

b2-c2

b2+c2

，由已知，∠ABG+∠CBG=π，
所以

b2

b2+c2

+

b2-c2

b2+c2

=0，2b²=c²．
因为AO⊥面BCFG．，所以直线AB与平面BCFG所成角即为∠ABO，其正切值tan∠ABO=

c

b

=

2

．

点评：本题考查直线垂直平面的判定定理，以及直线与平面所成角，由于条件中有面面垂直，故联想到面面垂直的性质定理，容易得到线面垂直，对于线面角，本题用向量法，还可以借助第一问的结论直接证明∠ABO为线面角，从而解三角形求得，对于有几个问题解答题，要注意前面问题的结论对后面问题的影响，以及几问之间的联系．