Question

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

Answer 1

【答案】分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用表示出，进而用表示，
三者的系数之和为1即可．
解答：解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得=+x₁+y₁
=+x₁（-）+y₁（-）
=（1-x₁-y₁）+x₁+y₁，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
则有=x+y+z，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．
所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．
=+y+z，即：，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．
点评：本题考查共线向量与共面向量定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．