Question

已知函数.

（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）函数定义域为，．

由，得．             

当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，符合题意。   

（Ⅱ）设，则当时，恒成立．

由，得．            

．方程有一负根和一正根，．其中不在函数定义域内．

在上是减函数，在上是增函数．即在定义域上的最小值为．                

依题意只需，即．又，所以，，. 所以，

即.               

令，则

当时，，所以是增函数。由，所以的解集为，即，所以．即的取值范围是．

解法二：，即

设，则，

设，则，

当时，，是减函数

，即是减函数，         

当时，先证，

设，，

在上是增函数且，，即，

当时，

由，的最大值为2，即的取值范围是．     

考点：函数的极值；解不等式

点评：求较复杂函数的性质，常用到导数。导数对求函数的单调区间、最值、不等式等问题都有很大作用。