题目内容
（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
，则x+y+z=
．
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3
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| 7 |
3
| ||
| 7 |
分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值
，由不等式的等号成立的条件解出x=
、y=
且z=
，由此即可得到x+y+z的值．
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| 14 |
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3
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解答：解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当
=
=
时，上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合x+2y+3z=
，可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴
=
=
=
，可得x=
，y=
，z=
因此，x+y+z=
+
+
=
故答案为：
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当
| x |
| 1 |
| y |
| 2 |
| z |
| 3 |
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合x+2y+3z=
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∴
| x |
| 1 |
| y |
| 2 |
| z |
| 3 |
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| 7 |
3
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因此，x+y+z=
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3
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3
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故答案为：
3
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点评：本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值
的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．
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