Question

已知全集U={1,2,3,4,5},A={x∈U|x²-5qx+4=0}.

(1)若A=U,求实数q的取值范围;

(2)若A中有四个元素,求A及实数q的值;

(3)若A中有且仅有两个元素,求A及实数q的值.

Answer 1

解：(1)∵全集是U,由A=U,知A=,即方程x²-5qx+4=0的解不在U中,

由1²-5q·1+4≠0得q≠1;

由2²-5q·2+4≠0得q≠;

同理,由3、4、5不是方程的根,依次可得q≠、q≠1、q≠;

综上可得所求范围是{q|q∈R,且q≠,q≠1,q≠,q≠}.

(2)由A中有四个元素,

∴A中的方程有一解在U中,利用(1)中结论可得:

若q=1,则A={1,4},矛盾,∴q≠1;

若q=,则A={2},

此时A={1,3,4,5};

若q=,则A={3},

此时A={1,2,4,5};

若q=,则A={5},

此时A={1,2,3,4}.

(3)设这两个元素是x₁、x₂,由x₁·x₂=4及x₁、x₂∈U知,当且仅当q=1时, A={2,3,5}.