题目内容

设x1、x2是函数f(x)=(a＞0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2.

(Ⅰ)证明：0＜a≤1；

(Ⅱ)证明|b|≤．

解：证明：(Ⅰ)(x)=ax2+bx-a2,

∵x1、x2是f(x)的两个极值点,

∴x1、x2是方程(x)=0的两个实数根. 

∵a＞0,∴x1x2=-a＜0,x1+x2=-.

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=.

∵|x1|+|x2|=2,

∴+4a=4,即b2=4a2-4a3.

∵b2≥0,∴0＜a≤1. 

(Ⅱ)设g(a)=4a2-4a3,

则(a)=8a-12a2=4a(2-3a).

由(a)＞00＜a＜,(a)＜0＜a≤1,得g(a)在区间(0,)上是增函数，在区间（，1）上是减函数，

∴g(a)max=g()=.  ∴|b|≤.


练习册系列答案
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设x1，x2是函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．
（1）证明：|b|≤
4
3
9
．
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设x1，x2是函数f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：|b|≤
4
3
9
．
设函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=-
12
．
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（2）设x1、x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
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a
2
，3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0且-3＜
b
a
＜-
3
4
；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．
设x1，x2是函数f（x）=x3-2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是
 
．

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