Question

已知函数f(x)=-x+log2

1-x

1+x

．
（1）求f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值；
（2）当x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）、函数f(x)=-x+log2

1-x

1+x

．是奇函数，借助奇函数的性质f（-x）+f（x）=0可知f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)=0．
（2）、函数f（x）为（-1，1）上的减函数，又x∈（-a，a]且a∈（0，1]，所以f(x)min=f(a)=-a+log2

1-a

1+a

．借助减函数的性质能够巧妙地简化运算．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得(x+1)(x-1)＜0解得-1＜x＜1
函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(-x)=x+log2

1-x

1+x

=x-log2

1-x

1+x

=-f(x)
∴函数f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0
∴f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)=0．
（2）任取x₁、x₂∈（-1，1）且设x₁＜x₂．
则f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2

1-x2

1+x2

-log2

1-x1

1+x1

易知f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以函数f（x）为（-1，1）上的减函数，
又x∈（-a，a]且a∈（0，1]，
所以f(x)min=f(a)=-a+log2

1-a

1+a

．

点评：灵活地运用函数的奇偶性和单调性能够有效地简化运算．