Question

约定R^＋表示正实数集，定义在R^＋上的函数f(x)，对任意的x、y∈R^＋都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，当且仅当x＞1时，f(x)＞0成立．

(1)设x、y∈R^＋，求证：f()＝f(y)－f(x)；

(2)设x₁、x₂∈R^＋，若f(x₁)＞f(x₂)，比较x₁与x₂的大小；

(3)解不等式f()＞f(a^x－3)(0＜a＜1)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵对任意的x，y∈R＋都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)， 　　∴f()＋f(x)＝f(·x)＝f(y)． 　　∴f()＝f(y)－f(x)． 　　(2)解：设0＜m＜n，则＞1． 　　由(1)，知f(n)－f(m)＝f()， 　　又∵当且仅当x＞1时，f(x)＞0， 　　∴f(n)－f(m)＞0． 　　∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 　　∴当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2． 　　(3)解：由函数的定义域及单调性，知原不等式等价于： 　　 　　解得3＜ax＜5． 　　又∵0＜a＜1， 　　∴loga5＜x＜loga3． 　　∴不等式的解集为(loga5，loga3)．