题目内容

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若 $数学公式$ ，请你根据这一发现，求：
（1）函数 $数学公式$ 对称中心为；
（2）计算 $数学公式$ =．

解：（1）依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x= $\text{[math]}$ ，
又 f（ $\text{[math]}$ ）=1，
∴函数 $\text{[math]}$ 的对称中心为（ $\text{[math]}$ ，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（ $\text{[math]}$ ，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
设S= $\text{[math]}$ ，
又S=f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ），
所以2S=[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]=2×2010，
所以S=2010，即 $\text{[math]}$ =2010．
故答案为：（1）（ $\text{[math]}$ ，1）；（2）2010．
分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（ $\text{[math]}$ ，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，根据该结论即可求得答案；
点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．

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对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
己知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标

；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论

（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=

，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=

的对称中心为

；
（2）计算f(

（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=

x+1，则该函数的对称中心为

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为

．
（2）．若函数g(x)=

（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f^t（x）是函数y=f（x）的导数，f^tt（x）是函数f^t的导数，若方程f^tt（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x³-

）=（　　）