Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是线段A₁B，B₁C上的不与端点重合的动点，如果A₁E=B₁F，下面四个结论：
①EF⊥AA₁；
②EF∥AC；
③EF与AC异面；
④EF∥平面ABCD．
其中一定正确的结论序号是________．

Answer 1

①，④
分析：由题意，过E作EG∥A₁B₁，连接FG，证明平面EFG∥平面ABCD，从而EF∥平面ABCD，即④正确；利用AA₁⊥平面ABCD，可知①正确；当E，F分别为线段A₁B，B₁C的中点时，EF∥AC，否则，EF与AC异面，故可得结论．
解答：由题意，过E作EG∥A₁B₁，连接FG，则∵A₁E=B₁F，∴FG∥BC
∴平面EFG∥平面ABCD
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥平面EFG
∴AA₁⊥EF，即①正确
∵平面EFG∥平面ABCD
∴EF∥平面ABCD，即④正确
当E，F分别为线段A₁B，B₁C的中点时，EF∥AC，否则，EF与AC异面，即②③不正确；
故一定正确的结论序号是①④
故答案为：①④
点评：本题考查线线、线面位置关系，解题的关键是利用面面位置关系判断线线、线面位置关系，属于中档题．