Question

(2007北京海淀模拟)已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且满足下列条件：

①对于任意x[0，1]总有，且f(1)=4；

②若，，，则有．

(1)求f(0)的值；

(2)求证：；

(3)当时，试证明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)令， 由①对于任意x[0，1]，总有，∴． 又由②得，即．∴f(0)=3． (2)任取，且设， 则， 因为，所以， 即，∴． ∴当x[0，1]时，． (3)先用数学归纳法证明：． ①当n=1时，，不等式成立； ②假设当n=k时，． 由 ， 得，∴， 即当n=k＋1时，不等式成立． 由①②可知，不等式对一切正整数都成立． 于是，当(n=1，2，3，…)时， ， 而x[0，1]，f(x)单调递增， ∴．∴．∴f(x)＜3x＋3．