Question

如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．

 （Ⅰ）证明：平面；

 （Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，

所以，且，又为等腰三角形，

，且，从而．  

 所以为直角三角形，．

又．   所以平面

（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，

得．为二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值为

解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．     设，则．

的中点，．

．

故等于二面角的平面角．……10分

，

所以二面角的余弦值为．