题目内容

设实数x，y满足不等式组 $数学公式$ ，则4x²+y²的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 $\text{[math]}$ ，的平面区域，然后设4x²+y²=a，将其视在椭圆的方程，分析平面区域里各个点，利用直线与椭圆的位置关系，求出4x²+y²的最小值．
解答：

解：依题意作出可行性区域 $\text{[math]}$ ，如图，
设4x²+y²=a，将其视在椭圆的方程，当此椭圆与直线2x-y-1=0相切时，4x²+y²取得最小值，
由 $\text{[math]}$ 消去y得8x²-4x+1-a=0，由△=0得16-32（1-a）=0得a= $\text{[math]}$ ，
故目标函数z=4x²+y²在直线2x-y-1=0与椭圆4x²+y²= $\text{[math]}$ 相切处取到最小值 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本小题主要考查简单线性规划、直线与椭圆位置关系的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．