Question

（本小题共14分）函数，，.

（1）①试用含有的式子表示；②求的单调区间；

（2）对于函数图像上的不同两点，，如果在函数图像上存在点（其中在与之间），使得点处的切线∥，则称存在“伴随切线”，当时，又称存在“中值伴随切线”。试问：在函数的图像上是否存在两点、，使得存在“中值伴随切线”？若存在，求出、的坐标；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1），增区间为，减区间为

（2）不存在

【解析】解：（1）①  ∵  ∴ . （2分）

  ②  ∵，  ∴当时 ，

当时， 

∴增区间为，减区间为  

（2）不存在   （7分）  （反证法）

若存在两点，，不妨设，则

曲线在的切线斜率

又

∴由得     ① 

法一：令 

∴在上为增函数   

又  ∴ 与①矛盾

∴不存在            （16分）

法二：令，则①化为    ②

令      ∵

∴在为增函数  

又 ∴此与②矛盾，∴不存在