Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）.

【解析】

（1）把代入，然后求出函数的定义域，对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的极值，

（2）令，根据已知可转化为，结合导数进行求解．

（1）当时，，所以函数的定义域为，

所以，且，

令，

所以当时，，

所以.

又，

所以当时，，

所以在上单调递减，故.

同理当时，；

当时，，

所以在是单调递增，在单调递减，

所以当时，的极大值为，无极小值.

（2）令，

因为对任意都有成立，

所以.

因为，

所以.

令，即，解得；

令，即，解得.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为，

所以，当时，

令，即，解得；令，即，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，

所以，即实数的取值范围为.