Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=5时，f（x）=log2（ +5），

由f（x）＞0；得log2（ +5）＞0，

即 +5＞1，则 ＞﹣4，则 +4= ＞0，即x＞0或x＜﹣ ，

即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣ }．

（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．

即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x= ，

若x=﹣1是方程①的解，则 +a=a﹣1＞0，即a＞1，

若x= 是方程①的解，则 +a=2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（ +a）﹣log2（ +a）≤1，

即 +a≤2（ +a），即a≥ ﹣ =

设1﹣t=r，则0≤r≤ ，

= = ，

当r=0时， =0，

当0＜r≤ 时， = ，

∵y=r+ 在（0， ）上递减，

∴r+ ≥ = ，

∴ = = ，

∴实数a的取值范围是a≥ ．

【解析】（1）当a=5时，f（x）=log2（ +5）＞0，即为 +5＞1，解分式不等式即可，（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论a的取值范围进行求解即可，（3）利用函数f（x）的单调性，可得f（t）﹣f（t+1）≤1，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．