题目内容

已知函数f（x）=lnx-ax+ $数学公式$ -1．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当0＜a≤ $数学公式$ 时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+4，当a= $数学公式$ 时，若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f′（x）= $\text{[math]}$
∴f′（1）=0
∵f（1）=-2
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-2；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数，f′（x）=- $\text{[math]}$
令f′（x）=0得 $\text{[math]}$
当a= $\text{[math]}$ 时，f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当0＜a＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＞1，
∴在（0，1）和（ $\text{[math]}$ ，+∞）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在（1， $\text{[math]}$ ）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（3）当a= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =3，f（x）=lnx- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -1
由（2）知，函数在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f（x₁）≥f（1）=- $\text{[math]}$
对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需当x∈[1，2]时，[g（x）]_max≤ $\text{[math]}$ 即可
所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
所以b≥ $\text{[math]}$
所以实数b的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（1）求导数，确定切线的斜率，从而可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）分类讨论．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（3）确定f（x₁）≥f（1）=- $\text{[math]}$ ，对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需当x∈[1，2]时，[g（x）]_max≤ $\text{[math]}$ 即可，由此可得不等式，从而可求实数b的取值范围．
点评：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，属于中档题．