Question

已知函数f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若对?a∈(-

1

2

，

1

2

)，函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时要求求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程只需求出切线的斜率而根据导数的几何意义可知切线的斜率为f^′（2）．
（Ⅱ）此题是对?a∈(-

1

2

，

1

2

)函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零属恒成立的问题因此可转变思路将此函数看成关于a的函数即关于a的恒成立问题，然后可利用一次函数的知识进行求解．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3-

3

2

x2+1
∴f（2）=3
∵f’（x）=3x²-3x
∴f’（2）=6．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．
（Ⅱ）把原函数看成是关于a的一次函数，令g(a)=x3a+(1-

3

2

x2)，则原问题转化为g（a）＞0对?a∈(-

1

2

，

1

2

)恒成立问题．
若x=0，g（a）=1＞0恒成立，
若x≠0，则问题转化为

g(- 1 2 )＞0 g( 1 2 )＞0

，解得1-

3

＜x＜-1+

3

所以x的取值范围是1-

3

＜x＜-1+

3

．

点评：本题主要考查了利用导数求在某点处的切线方程以及恒成立的求解．第一问的解题关键是要知道函数在这一点处的导数即为在这一点处的切线斜率．第二问的解题关键是要转化为关于a的恒成立问题但要注意的是要对a的系数进行讨论！