Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成的角；
（2）求MN的长；
（3）求MN与底面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C₁D，易得四边形ADC₁B₁为矩形，即∠BC₁D为异面直线AB₁与BC₁所成的角或其补角，根据余弦定理易得到异面直线AB₁与BC₁所成的角；
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，根据三角形中位线定理，得MP∥BB₁，则MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的长；
（3）由（2）的结论，MN与底面所成的角为∠MNP，解三角形MNP即可得到MN与底面ABC所成的角．

解答：解：（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C₁D，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC，BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ADC₁B₁为矩形，且AB₁∥C₁D，
∴∠BC₁D为异面直线AB₁与BC₁所成的角或其补角．由已知条件和余弦定理可得cos∠BC1D=

9

25

．
∴异面直线AB₁与BC₁所成的角为arccos

9

25

．
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB₁，
∴MP⊥平面ABC，又NP?平面ABC，
∴MP⊥NP．PN=

1

2

AB=2，MP=3，
∴MN=

4+9

=

13

．
（3）由（2）知，MN与底面所成的角为∠MNP，且NP=2，
tan∠MNP=

3

2

，∠MNP=arctan

3

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，根据线面夹角及异面直线夹角的定义，求出线面夹角及异面直线夹角的平面角是解答本题的关键．