Question

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角Q取何值时·的值最大？并求出这个最大值．

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Answer 1

解法一：∵⊥，∴·=0，=-，?=-，=∴·=（-）·（-）?=·-·-?·+·?=-a²-·+?·?=-a²+·（-）=-a²+·=-a²+a²cosθ,故当cosθ=1,即θ=0?(与方向相同）时，·最大，其最大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如右图所示的平面直角坐标系.?设|AB|=c,|AC|=b,则A（0，0），B（0，b),（0，b）且|PQ|=2a,?|BC|?=a. 设点P的坐标为（x,y)，则Q（-x,-y).?∴?=(x-c,y), =(-x,-y-b),?=(-c,b)，||=（-2x，-2y）.?∴ ·=（x-c）（-x）+y（-y-b）=-（x²+y²）+cx-by.?∵cosθ=·|?|·||=cx-bya²，∴cx-by=a²cosθ.?∴?·=-a²+a²cosθ.?故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，·最大.其最大值为0.