题目内容

设定义在R上的函数 $数学公式$ （a₀，a₁，a₂，a₃∈R），当x=-1时，f（x）取极大值 $数学公式$ ，且函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在 $数学公式$ 上；
（Ⅲ）设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，所以 $\text{[math]}$ ．
由题意当x=-1时，f（x）取极大值 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以，所求 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
即x₁=0，x₂=± $\text{[math]}$ 或x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=0
从而可得所求两点的坐标为：（0，0）， $\text{[math]}$ 或者（0，0）， $\text{[math]}$ ．…（8分）
（III）证明： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，即在 $\text{[math]}$ 上递减，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，由导数可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（Ⅰ）由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，可得 $\text{[math]}$ ，根据当x=-1时，f（x）取极大值 $\text{[math]}$ ，建立方程组，即可求得函数的不等式；
（ II）设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，利用两点为切点的切线互相垂直即可求得点的坐标；
（III）确定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的最值是关键．