Question

已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，a₁=1．
（Ⅰ） 求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-

1

2

成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根据数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，可得数列{

an

n

}是等差数列，从而可得a_n=n，再根据

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，即可求得数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-

1

2

成立，只要（T_n）_min＜t²-

1

2

，利用作差法证明T_n是单调递增的
，从而问题转化为

1

2

＜t²-

1

2

，由此可求实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=0
∴数列{

an

n

}是等差数列，
∵a₁=1，∴

an

n

=1，∴a_n=n
∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-

1

2

成立，只要（T_n）_min＜t²-

1

2

∵Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0
∴T_n是单调递增的
∵n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，∴（T_n）_min=T（1）=

1

2

于是只要

1

2

＜t²-

1

2

，∴t＜-1或t＞1
∴实数t的取值范围是t＜-1或t＞1．

点评：本题考查构造法求数列的通项，考查数列的求和，考查恒成立问题，解题的关键是将存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-

1

2

成立，转化为（T_n）_min＜t²-

1

2

．