Question

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）用定义法证明函数的单调性，作差，变形，判号，得出结论四步，
（3）将b表示为x的函数，利用单调性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1] - 2x 4x+1     x∈[-1，0) 0               x∈{0}

，
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 (-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}，
∴实数b的取值范围为(-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}．

点评：本题考查复杂函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，思路简单，运算变形较繁，是一道提高答题者耐心的好题．属中档题．