Question

如图，画一个边长为a（a＞0）的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，记第1个正方形的边长为a₁，第2个正方形的边长为a₂，…，第n个正方形的边长为a_n．
（1）试归纳出或求出a_n的表达式；
（2）记第1个正方形的面积为S₁，第2个正方形的面积为S₂，…，第n个正方形的面积为S_n，求S₁+S₂+S₃+…+S_n．

Answer 1

分析：（1）根据图形得到：当第n个正方形的对角线长为

2

an时第n+1个正方形的边长为a_n+1=

2

2

an，得到数列{a_n}是等比数列，根据等比数列的通项公式得到a_n的通项即可；
（2）根据正方形的面积等于边长的平方可得s_n=a_n²，代入求出s_n的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到S₁+S₂+S₃+…+s_n的和即可．

解答：解：（1）∵第n个正方形的对角线长为

2

an，
∴第n+1个正方形的边长an+1=

2

2

an．
∴

an+1

an

=

2

2

，即数列{a_n}是首项为a₁=a，公比为

2

2

的等比数列．
∴a_n=（

2

2

）^n-1a．

（2）∵a_n=（

2

2

）^n-1a，
∴Sn=[(

2

2

)n-1a]2=

1

2n-1

a2．
∴数列{S_n}是首项为S₁=a²，公比为

1

2

的等比数列．
∴S₁+S₂+S₃+…+s_n=

a2(1- 1 2n )

1- 1 2

=2a²（1-

1

2n

）．

点评：考查学生掌握等比数列的通项公式及等比数列的前n项和的公式，会利用数学归纳法进行归纳总结得到一般性的规律．