Question

如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．

（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1)（2）存在点，使，其坐标为，即恰好为点．

【解析】

试题分析：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面．

又，且各棱长都相等，∴，，．                       2分

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

∴，，．……4分

设平面的法向量为，则

解得．由．

而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为          6分

（2）∵，而 

∴

又∵，∴点的坐标为．

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．

∵，为平面的法向量，

∴由，得．        10分

又平面，故存在点，使，其坐标为，

即恰好为点．                12分

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上，它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题，淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法，强化了代数运算，从而降低了思维难度