Question

已知两点M（1，

5

4

），N（-4，

5

4

），给出下列曲线方程
①x+2y-1=0； 
②x²+y²=3；   
③

x2

2

+y2=1      
④

x2

2

-y2=1，
在曲线上存在点P满足

.

MP

.

=

.

NP

.

的所有曲线方程是（　　）

A．①③

B．②④

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：由题意求出线段MN的垂直平分线方程，然后逐一和四条曲线方程联立，若方程组有解，则符合题目要求，否则不符合．

解答：解：因为M（1，

5

4

），N（-4，

5

4

），所以MN的中点为（-

3

2

，

5

4

），
所以MN的垂直平分线方程为x=-

3

2

．
联立

x+2y-1=0 x=- 3 2

，解得

x=- 3 2 y= 5 4

．所以①符合曲线上存在点P，满足|MP|=|NP|；
联立

x=- 3 2 x2+y2=3

，得

x=- 3 2 y= 3 2

或

x=- 3 2 y=- 3 2

．所以②符合曲线上存在点P，满足|MP|=|NP|；
联立

x=- 3 2 x2 2 +y2=1

，得y2=-

1

8

，此式显然不成立，所以③不符合曲线上存在点P，满足|MP|=|NP|；
联立

x=- 3 2 x2 2 -y2=1

，得

x=- 3 2 y= 2 4

或

x=- 3 2 y=- 2 4

．所以④符合曲线上存在点P，满足|MP|=|NP|．
所以满足曲线上存在点P，使|MP|=|NP|的曲线是①②④．
故选D．

点评：本题考查了曲线与方程，考查了数学转化思想方法，训练了二元二次方程组的解法，是中档题．