Question

【题目】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数.

（1）求的解析式；

（2）求实数的值，使得函数，的最小值为；

（3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由函数是上的奇函数得出，可解出，再令，求出，利用奇函数的定义得出的表达式，从而得出函数在上的解析式；

（2）由题意得出，令，可得出，再分、、三种情况讨论，分析该二次函数在区间上的单调性，得出该二次函数的最小值为，求出的值；

（3）先求出，任取且，利用作差法证明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立.

（1）由于函数是上的奇函数，则，

那么，当时，.

当时，，，

.也适合.

因此，；

（2）当时，，

则，

令，则，

该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，函数在区间上单调递增，此时，，解得，合乎题意；

②当时，即当时，函数在上取得最小值，即，整理得，解得，

均不符合题意；

③当时，即当时，函数在区间上单调递减，

此时，，不合乎题意.

综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；

（3）当时，.

当时，，则，

整理得，解得.

任取且，

，

且，，，所以，，

，，，，

上述不等式全部相加得.